Leibniz, la integral y algo más/Leibniz, the integral sign and more

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Royal Society)

El 29 de octubre de 1675 el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz escribió por primera vez el símbolo ∫, el de la integral, en un manuscrito que nunca llegó a ser publicado.
Además de matemático y filósofo, Leibniz (1646-1976) cultivó el derecho, fue secretario de la Sociedad Alquimista de Núremberg y un prolífico poeta.
Durante sus misiones diplomáticas en Londres y París, conoció a importantes científicos de la época, como Christiaan Huygens, Robert Boyle, Robert Hook, John Pell y Jacques Ozanam. Su diseño de un prototipo de calculadora le valió la entrada como miembro en la Royal Society británica.
Con sus colegas ingleses Leibniz mantenía intensas discusiones intelectuales sobre la suma de series y la geometría infinitesimal; y cuando regresaba a Francia, los miembros de la Royal Society le informaban por carta sobre los nuevos avances e incluso sobre el trabajo de Isaac Newton antes de que fuera publicado.
El propio Newton se interesó por conocer a Leibniz y a través de un intermediario empezó a enviarle cartas que podían tardar hasta meses en llegar a su destinatario. Su relación de correspondencia acabó en la ‘guerra del cálculo matemático’, cuando Newton le acusó de haberle robado su trabajo. Leibniz diseñó su propio sistema de símbolos, en el que destaca el signo de la integral. Por su parte, Newton había publicado otro sistema, pero la notación de Leibniz triunfó por encima de la newtoniana y es la que utilizan hoy en día los matemáticos.
Durante décadas, matemáticos europeos y británicos discutirían sobre la verdadera autoría de los avances en cálculo, aunque más tarde se demostraría que fueron descubrimientos simultáneos. Tanto Newton como Leibniz se relacionaban con los mismos círculos, tenían acceso a los mismos trabajos, compartieron ideas durante años y llegaron a las mismas conclusiones.
Leibniz contribuyó de una manera crucial al conocimiento de las ecuaciones diferenciales. Ideó el método de separación de variables y averiguó cómo resolver las ecuaciones lineales de primer orden.
La disputa entre Newton y Leibnitz aparece como uno de los elementos de 'Azogue' una de las novelas de la trilogia 'El ciclo Barroco' del escritor norteamericano de ficción especulativa (ciencia-ficción) Neal Stephenson, una muestra más de la relación existente entre la ciecia y la literatura y de la multidisciplinaridad de la mente humana, la razón detrás del proyecto ALKAID.

Neal Stephenson con algunos de los protagonistas de su trilogía/Neal Stephenson with some of the characters of his trilogy: Newton, Leibniz, Sophia of Hanover and William of Orange

On October, 29, 1675 Gottfried Leibniz wrote the integral sign ∫ in an unpublished manuscript, introducing the calculus notation that’s still in use today.
Leibniz was a German mathematician and philosopher who readily crossed the lines between academic disciplines. He had a doctorate in law, served as secretary of the Nuremberg alchemical society and fancied himself a poet.
He also conducted diplomatic missions in London and Paris. While visiting those cities, Leibniz acquainted himself with such scientific luminaries as Christiaan Huygens, Robert Boyle, Robert Hook, John Pell and Jacques Ozanam. He showed an unfinished calculating machine to the Royal Society, which elected him a fellow.
Leibniz discussed with his English colleagues his interest in summing series and the geometry of infinitesimals, and he corresponded with them when he was back in France. They apprised him of books in the field and also told him about Isaac Newton‘s yet-unpublished work on the subject.
Newton wrote to Leibniz through an intermediary, and they began an exchange of letters that often took weeks or even months to reach their recipient. The muddled back-and-forth eventually led to bad blood, with Newton claiming that Leibniz had stolen his work in founding the science of calculus. Leibniz created his own symbolic system, including not just the integral sign but the same notation of differentials we still use. Newton published his system slightly before Leibniz, but the German’s notation was superior.
Continental and English mathematicians would spend decades arguing over who invented the calculus, but it seems yet another example of simultaneous discovery. The two scientists were of the same era, associated in the same circles, read the work of the same precursors, and shared some of their own ideas. It should amaze no one that they came to the same results in slightly different mathematical language at nearly the same time
Gottfried Leibniz contributed mightily to our knowledge of differential equations. He discovered the method of separation of variables, first reduced homogeneous equations to separable ones, and figured out how to solve first-order linear equations. He also worked on the multinomial theorem.
The Newton-Leibniz feud is one of the elements of the plot of  'Quicksilver', one of the volumes of the 'Baroque Cycle' triloy of the American author of speculative fiction (science-fiction) Neal Stephenson. This is amother sample of the intimate relationship between science and literarure and of the multidisiciplinary character of the human mind, the reason behin the ALKAID Project.

La disputa Newton-Leibniz/The Newton-Leibniz feud (Antonio Mingote)

Tomado de/Taken from Sinc Noticias (Español/English)

Mandelbulb: Mandelbrot en 3D/Mandelbulb: 3D Mandelbrot

Hace algunos meses se anunció el descubrimiento de la versión más parecida a un conjunto fractal de Mandelbrot en 3 dimensiones, llamando Mandelbulb.
Hace años que se busca, sin éxito, una verdadera versión en tres dimensiones del conjunto de Mandelbrot. Pero recientemente, Daniel White, Paul Nylander y muchos otros en FractalForums han encontrado una versión ligeramente distinta, que origina una verdadera estrctura fractal tridimensional, que va revelando detalles cada vez más finos según nos acercamos a ella.
El cálculo del fractal sigue un proceso parecido al del habitual conjunto de Mandelbrot y utiliza la misma fórmula
w' = wⁿ + c
pero en vez de ser números complejos normales, w y c son números 'triplex' hipercomplejos con tres componentes que corresponden a las coordenadas cartesianas x, y, y z.
El número triplex w se eleva a la potencia n con la siguiente fórmula:
w = {x, y, z}ⁿ = rⁿ { sin(θn) cos(φn), sin(θn) sin(φn), cos(θn) }
siendo:
r = sqrt( x² + y² + z² )
θ = atan2( sqrt( x² + y² ), z )
φ = atan2( y, x )

La mejor narración del proceso está en The unravelling of the real 3D Mandebulb

In recent months the discovery of the closest approach yet to generating a true 3D version of the Mandelbrot fractal, dubbed the Mandelbulb, was announced.
The search for a true 3D Mandelbrot has been sought unsuccessfully for a number of years. However, recently Daniel White, Paul Nylander and many others on FractalForums found that a slightly different approach yielded a true fractal structure in three dimensions; that is the images continue to reveal finer details the closer you look.
The fractal calculation follows a similar process as a normal Mandelbrot set using the same formula,
w' = wⁿ + c
but instead of using standard complex numbers w and c are hyper-complex 'triplex' numbers with three components corresponding to the Cartesian x, y, and z co-ordinates.
The triplex number w is raised to a power n using the following terms:
w = {x, y, z}ⁿ = rⁿ { sin(θn) cos(φn), sin(θn) sin(φn), cos(θn) }
where:
r = sqrt( x² + y² + z² )
θ = atan2( sqrt( x² + y² ), z )
φ = atan2( y, x )

The best narrative of the process is in The unravelling of the real 3D Mandebulb

Tomado de/Taken from 3D Mandelbulb Ray Tracer

MÁS INFORMACIÓN PINCHANDO EL SIGUIENTE ENLACE:
http://www.alkaidediciones.com/foro/index.php?topic=1358.0

Resuelto un antiguo problema matemático/Solved an ancient mathematics problem

Matemáticos de América del Norte, Europa, Australia y América del Sur han resuelto el primer billón de casos de un antiguo problema matemático. El avance ha sido posible gracias a una ingeniosa técnica para multiplicar números elevados. Los números en cuestión son tan enormes, que si hubiera que escribir sus dígitos a mano podrían hacer un viaje de ida y vuelta a la Luna. El mayor reto consistía en que estos números no cabían ni siquiera en la memoria principal de los ordenadores disponibles, por lo que los investigadores tenían que acudir a un uso intensivo de los discos duros

El problema, que se planteó por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con las áreas de triángulos rectángulos. Lo que resulta sorprendentemente problemático es determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros o fracciones. El área de dicho triángulo recibe el nombre de “número congruente”. Por ejemplo, el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5, muy típico en geometría, tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6, con lo que 6 es un número congruente. El número congruente mínimo es 5, que es el área del triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3 y 41/6.

Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 y 21. Muchos de los números congruentes ya se conocían antes del nuevo cálculo. Por ejemplo, todos los números de la secuencia 5, 13, 21, 29, 37, etc. son números congruentes. Pero otras secuencias similares, como 3, 11, 19, 27, 35, etc. resultan más misteriosas y hay que comprobar cada número individualmente. El cálculo encontró 3.148.379.694 nuevos números congruentes hasta un billón (un billón europeo = un trillón anglosajón).

El problema de los números congruentes lo planteó por primera vez el matemático persa Al-Karaji (953 - 1029). Su versión no tenía que ver con triángulos, sino que se planteaba en términos de números cuadrados, números que son cuadrados de enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc.

Los investigadores tuvieron un cuidado especial en verificar sus resultados, realizando el cálculo dos veces, en diferentes ordenadores, utilizando algoritmos distintos y formando dos grupos independientes para redactarlos. Bill Hart (Universidad de Warwick, en Reino Unido) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) utilizaron el ordenador “Selmer” en la Universidad de Warwick. Mark Watkins (Universidad of Sydney, en Australia), David Harvey (Courant Institute, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) utilizaron el ordenador “Sage” de la Universidad de Washington. El código del equipo se desarrolló durante un taller realizado en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual- CSIC en Benasque (Huesca) en julio de 2009.

Mathematicians from North America, Europe, Australia, and South America have resolved the first one trillion cases of an ancient mathematics problem. The advance was made possible by a clever technique for multiplying large numbers. The numbers involved are so enormous that if their digits were written out by hand they would stretch to the moon and back. The biggest challenge was that these numbers could not even fit into the main memory of the available computers, so the researchers had to make extensive use of the computers' hard drives.

The problem, which was first posed more than a thousand years ago, concerns the areas of right-angled triangles. The surprisingly difficult problem is to determine which whole numbers can be the area of a right-angled triangle whose sides are whole numbers or fractions. The area of such a triangle is called a "congruent number." For example, the 3-4-5 right triangle which students see in geometry has area 1/2 × 3 × 4 = 6, so 6 is a congruent number. The smallest congruent number is 5, which is the area of the right triangle with sides 3/2, 20/3, and 41/6

The first few congruent numbers are 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, and 21. Many congruent numbers were known prior to the new calculation. For example, every number in the sequence 5, 13, 21, 29, 37, ..., is a congruent number. But other similar looking sequences, like 3, 11, 19, 27, 35, ...., are more mysterious and each number has to be checked individually. The calculation found 3,148,379,694 of these more mysterious congruent numbers up to a trillion.

The congruent number problem was first stated by the Persian mathematician al-Karaji (c.953 - c.1029). His version did not involve triangles, but instead was stated in terms of the square numbers, the numbers that are squares of integers: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., or squares of rational numbers: 25/9, 49/100, 144/25, etc.

The researchers took particular care to verify their results, doing the calculation twice, on different computers, using different algorithms, written by two independent groups. Bill Hart (Warwick University, in England) and Gonzalo Tornaria (Universidad de la Republica, in Uruguay) used the computer Selmer at the University of Warwick. The team of Mark Watkins (University of Sydney, in Australia), David Harvey (Courant Institute, NYU, in New York) and Robert Bradshaw (University of Washington, in Seattle) used the computer Sage at the University of Washington. The team's code was developed during a workshop at the Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual in Benasque, Spain, in July 2009.

Tomado de/Taken from SINC / Science Daily