Resuelto un antiguo problema matemático/Solved an ancient mathematics problem

Matemáticos de América del Norte, Europa, Australia y América del Sur han resuelto el primer billón de casos de un antiguo problema matemático. El avance ha sido posible gracias a una ingeniosa técnica para multiplicar números elevados. Los números en cuestión son tan enormes, que si hubiera que escribir sus dígitos a mano podrían hacer un viaje de ida y vuelta a la Luna. El mayor reto consistía en que estos números no cabían ni siquiera en la memoria principal de los ordenadores disponibles, por lo que los investigadores tenían que acudir a un uso intensivo de los discos duros

El problema, que se planteó por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con las áreas de triángulos rectángulos. Lo que resulta sorprendentemente problemático es determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros o fracciones. El área de dicho triángulo recibe el nombre de “número congruente”. Por ejemplo, el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5, muy típico en geometría, tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6, con lo que 6 es un número congruente. El número congruente mínimo es 5, que es el área del triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3 y 41/6.

Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 y 21. Muchos de los números congruentes ya se conocían antes del nuevo cálculo. Por ejemplo, todos los números de la secuencia 5, 13, 21, 29, 37, etc. son números congruentes. Pero otras secuencias similares, como 3, 11, 19, 27, 35, etc. resultan más misteriosas y hay que comprobar cada número individualmente. El cálculo encontró 3.148.379.694 nuevos números congruentes hasta un billón (un billón europeo = un trillón anglosajón).

El problema de los números congruentes lo planteó por primera vez el matemático persa Al-Karaji (953 - 1029). Su versión no tenía que ver con triángulos, sino que se planteaba en términos de números cuadrados, números que son cuadrados de enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc.

Los investigadores tuvieron un cuidado especial en verificar sus resultados, realizando el cálculo dos veces, en diferentes ordenadores, utilizando algoritmos distintos y formando dos grupos independientes para redactarlos. Bill Hart (Universidad de Warwick, en Reino Unido) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) utilizaron el ordenador “Selmer” en la Universidad de Warwick. Mark Watkins (Universidad of Sydney, en Australia), David Harvey (Courant Institute, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) utilizaron el ordenador “Sage” de la Universidad de Washington. El código del equipo se desarrolló durante un taller realizado en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual- CSIC en Benasque (Huesca) en julio de 2009.

Mathematicians from North America, Europe, Australia, and South America have resolved the first one trillion cases of an ancient mathematics problem. The advance was made possible by a clever technique for multiplying large numbers. The numbers involved are so enormous that if their digits were written out by hand they would stretch to the moon and back. The biggest challenge was that these numbers could not even fit into the main memory of the available computers, so the researchers had to make extensive use of the computers' hard drives.

The problem, which was first posed more than a thousand years ago, concerns the areas of right-angled triangles. The surprisingly difficult problem is to determine which whole numbers can be the area of a right-angled triangle whose sides are whole numbers or fractions. The area of such a triangle is called a "congruent number." For example, the 3-4-5 right triangle which students see in geometry has area 1/2 × 3 × 4 = 6, so 6 is a congruent number. The smallest congruent number is 5, which is the area of the right triangle with sides 3/2, 20/3, and 41/6

The first few congruent numbers are 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, and 21. Many congruent numbers were known prior to the new calculation. For example, every number in the sequence 5, 13, 21, 29, 37, ..., is a congruent number. But other similar looking sequences, like 3, 11, 19, 27, 35, ...., are more mysterious and each number has to be checked individually. The calculation found 3,148,379,694 of these more mysterious congruent numbers up to a trillion.

The congruent number problem was first stated by the Persian mathematician al-Karaji (c.953 - c.1029). His version did not involve triangles, but instead was stated in terms of the square numbers, the numbers that are squares of integers: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., or squares of rational numbers: 25/9, 49/100, 144/25, etc.

The researchers took particular care to verify their results, doing the calculation twice, on different computers, using different algorithms, written by two independent groups. Bill Hart (Warwick University, in England) and Gonzalo Tornaria (Universidad de la Republica, in Uruguay) used the computer Selmer at the University of Warwick. The team of Mark Watkins (University of Sydney, in Australia), David Harvey (Courant Institute, NYU, in New York) and Robert Bradshaw (University of Washington, in Seattle) used the computer Sage at the University of Washington. The team's code was developed during a workshop at the Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual in Benasque, Spain, in July 2009.

Tomado de/Taken from SINC / Science Daily